LENGUAJE MATEMÁTICO, CONJUNTOS Y NÚMEROS

"Las Matemáticas constituyen una base fundamental en la formación de todo científico. Por un lado, el lenguaje formal de las Matemáticas es el lenguaje en el que se expresa toda ciencia cuando formula de manera precisa un problema. Por otro lado, las distintas disciplinas de la matemática proveen al científico de herramientas básicas cuando éste se enfrenta a la resolución de un problema. Pero las Matemáticas no deben ser vistas sólo como una herramienta. Aprender a utilizar con corrección el lenguaje matemático, así como asimilar sus estructuras y conceptos fundamentales, ayudan al alumno a desarrollar las capacidades lógica y de abstracción.
Objetivos. Para desarrollar los contenidos de este libro, hemos tenido muy presentes los objetivos que se querían conseguir. Hemos querido que el estudiante adquiera ciertas habilidades en el lenguaje matemático, se familiarice con el rigor matemático y los procesos deductivos, tenga nociones sobre la teoría elemental de conjuntos y conozca las propiedades básicas y específicas de los distintos conjuntos numéricos. Se trata de que el lector pueda entender enunciados y demostraciones no complicados y que establezca relaciones entre los diferentes enunciados y pueda establecer demostraciones similares.
Los contenidos de esta asignatura están constituidos por una breve introducción a los fundamentos básicos de las Matemáticas. Estos contenidos básicos son comunes a la mayoría de las disciplinas matemáticas y en muchas ocasiones aparecen diseminados en los preliminares o primeros capítulos de libros de Análisis Matemático, Algebra Lineal, Geometría o Estadística.
El estudiante ha visto muchos de los contenidos que en la asignatura se exponen, bien en el Bachillerato bien en el Curso de Acceso a la Universidad, y por tanto no tienen que resultarle extraños una parte de los resultados expuestos.
Perfil del alumnado. Este texto está específicamente elaborado para los alumnos de primer curso del grado en Matemáticas de la UNED. En él se desarrollan los contenidos básicos de la asignatura de mismo nombre de dicho grado. El nivel es el correspondiente para alumnos de primer curso de educación universitaria.
Prerrequisitos. Hemos supuesto que el lector ya posee alguna familiaridad con las matemáticas: la que se tiene normalmente al entrar en la universidad.
De hecho, aunque el texto introduce formalmente los conjuntos numéricos en los tres últimos capítulos, desde el principio se darán por conocidos, al menos intuitivamente, y se usarán como ejemplos de conjuntos y estructuras en los capítulos anteriores, los siguientes conjuntos:
El conjunto N = {0, 1,2,...} de los números naturales y N* = N\{0} = {1,2,…}
El conjunto Z = {…, –2, –1, 0, 1, 2,…} de los números enteros y Z* = Z\{0}
El conjunto Q = (a/b a,b Î Z y b ? 0} y Q* = Q\{0}
El conjunto R de los Números reales y R* = R\{0}
Metodología. La metodología empleada para la presentación y desarrollo de los contenidos es la propia de la enseñanza a distancia. Se ha pretendido que el texto sea autocontenido. Hemos buscado un lenguaje claro y sencillo para presentar cada concepto, y lo hemos acompañado de ejemplos detalladamente resueltos. Al menos ésta ha sido la intención de los autores.
Todos los capítulos incluyen unos comentarios finales cuya lectura es independiente del resto del texto y que son de índole diversa. En unos casos se incluye alguna nota histórica, en otros se incluyen resultados importantes sobre el capítulo estudiado cuyas demostraciones sobrepasan el nivel del curso pero que permiten complementar conocimientos. Otras veces, se recalca algún concepto en el que se quiere insistir por su especial relevancia.
A lo largo del texto se hacen numerosas referencias a las definiciones o resultados del texto utilizados. La finalidad es doble: tratamos de facilitar la lectura del texto a la vez que intentamos que el lector fije ideas y conceptos. Todos los capítulos van precedidos de una introducción.
El libro comienza con un capítulo sobre lógica matemática. Dadas las limitaciones de tiempo y del alcance que se pretende, este capítulo quiere únicamente ofrecer una vista de pájaro sobre algunos aspectos de esencial interés en matemáticas. Los comentarios finales se centran en analizar someramente cómo se aplica la lógica en matemáticas, tanto en la presentación de resultados como en los métodos de demostración.
En el segundo capítulo presentamos una teoría elemental, no axiomática, de conjuntos. Establecemos el nexo existente entre los conjuntos y la lógica de predicados e introducimos los cuantificadores. Los comentarios tratan en primer lugar, sobre el método de demostración por inducción y en segundo lugar, sobre la dificultad que supone precisar el concepto de conjunto.
El tercer capítulo estudia las relaciones de equivalencia y de orden en un conjunto, así como las aplicaciones entre conjuntos. El concepto de biyección nos permite introducir el concepto de cardinal, que se retomará en el quinto capítulo. Finalmente los comentarios del capítulo versan sobre el axioma de elección, el lema de Zorn y sobre cómo se pueden ordenar los números cardinales.
El cuarto capítulo introduce, brevemente, algunas estructuras algebraicas, grupos, anillos y cuerpos, y los homomorfismos respectivos. En los comentarios finales se introducen la suma y el producto de números cardinales.
Los últimos capítulos se dedican a la construcción de los conjuntos numéricos usuales. Los números naturales se construyen axiomáticamente mediante los axiomas de Peano y nos conducen a los cardinales finitos e infinitos. En los comentarios finales del capítulo se ve cómo el conjunto de los cardinales finitos constituye un modelo para los números naturales. Los números enteros se introducen para efectuar sin limitaciones la sustraccién. Se completa a los números racionales donde la división sea también ejecutable sin limitaciones. Se ha optado por la introducción axiomática de R como cuerpo ordenado, extensión de los números racionales, en el que se satisface el axioma del supremo. En los comentarios finales estudiamos la construcción de los números reales mediante cortaduras de Dedekind. Finalmente, los números complejos, denotados por C se han construido como el “menor” cuerpo extensión de los mimeros reales de modo que la ecuación x2 + 1 = 0 tenga al menos una solución. Los comentarios finales mencionan la completitud algebraica de C.
Agradecimientos. Queremos agradecer a los profesores Alberto Borobia, Beatriz Estrada, Antonio García, José Leandro de María y Ernesto Martínez la ayuda que nos han prestado.

Dr. Dº Miguel Delgado Pineda
Dra. Dª María José Muñoz Bouzo